Dans une source ECR à 2,45 GHz, les électrons absorbent l’onde là où leur pulsation cyclotron égale celle de l’onde :

\[\omega_c = \frac{eB}{m_e} = \omega \quad\Longleftrightarrow\quad B = 875\ \text{G}\]

C’est une surface, pas un volume. Toute la puissance est déposée dans une couche mince autour d’elle.

La question pratique : quelle est son épaisseur ? Elle conditionne le maillage, la convergence, et la validité même d’une description fluide.

Le point de départ :

\[P = \tfrac{1}{2}\,\mathrm{Re}(\mathbf{j}\cdot\mathbf{E}^*), \qquad \mathbf{j} = q\,n_e\,\mathbf{v}, \qquad \mathbf{v} = \boldsymbol{\mu}\cdot\mathbf{E}\]

C’est la forme moyennée sur une période de l’éq. (5) de Hagelaar et al. (2009), \(P = -e\langle\tilde{\mathbf{E}}\cdot\tilde{\mathbf{v}}_e\rangle_t\).

La fermeture est l’équation de quantité de mouvement locale (éq. (4)), qui néglige les dérivées spatiales et la force magnétique de l’onde :

\[\frac{\partial\tilde{\mathbf{v}}_e}{\partial t} + \nu_m\tilde{\mathbf{v}}_e - \frac{e}{m_e}\mathbf{B}\times\tilde{\mathbf{v}}_e = -\frac{e}{m_e}\tilde{\mathbf{E}}\]

\(\nu_m\) est la fréquence de transfert d’impulsion, dominée par les collisions électron-neutre : \(\nu_m \simeq \nu_e\).

Extraction de la partie réelle

On pose \(z = \nu + i\omega\) et \(z^2 + \omega_c^2 = A + iB\) avec

\[A = \nu^2 + \omega_c^2 - \omega^2, \qquad B = 2\nu\omega\]

d’où \(\mathrm{Re}(\sigma_\perp) \propto \dfrac{\nu A + \omega B}{A^2 + B^2}\)

Le résultat, qui est l’expression de \(P\) utilisée partout ensuite :

\[\boxed{\;P \;\propto\; \frac{\nu\,(\nu^2 + \omega^2 + \omega_c^2)} {\nu^4 + 2\nu^2(\omega^2 + \omega_c^2) + (\omega^2 - \omega_c^2)^2}\;}\]

les deux écritures du dénominateur étant liées par

\[(\nu^2 + \omega_c^2 - \omega^2)^2 + 4\nu^2\omega^2 = \ \cdots\]

Ce que montre la courbe :

• résonance nette en \(\omega_c = \omega\) dès que \(\nu \ll \omega\) ;
• amplitude au pic \(\propto 1/\nu\), largeur \(\propto \nu\) ;
• les ailes décroissent en \(1/(\omega_c - \omega)^2\).

En posant \(u = \omega_c^2\), le dénominateur de \(P\) se factorise exactement :

\[\boxed{\;D(u) = (u - u_0)^2 + \Gamma^2\;}\]

\[u_0 = \omega^2 - \nu^2, \qquad \Gamma = 2\omega\nu\]

Et le numérateur est lentement variable près de la résonance :

\[\nu(\nu^2 + \omega^2 + \omega_c^2) \simeq 2\nu\omega^2 \quad \text{pour } \omega_c \simeq \omega,\ \nu \ll \omega\]

C’est aussi ce qui explique la légère asymétrie du pic en \(\omega_c\) : elle vient du jacobien \(du = 2\omega_c\,d\omega_c\).

La mi-hauteur en \(u\) est atteinte en \(u = u_0 \pm \Gamma\), d’où les points à mi-hauteur exacts en \(\omega_c\) :

\[\omega_{c\pm} = \sqrt{\omega^2 - \nu^2 \pm 2\omega\nu}\]

\[\mathrm{FWHM} = \omega_{c+} - \omega_{c-}\]

Linéarisé pour \(\nu \ll \omega\) :

\[\boxed{\;\mathrm{FWHM} \simeq 2\nu\;}\]

1. La FWHM contient exactement 50 % de l’aire

Propriété classique du lorentzien. La généralisation à une fraction \(X\) de l’aire s’obtient par la primitive en arctangente :

\[\Delta_X \simeq 2\nu\,\tan(X\pi/2)\]

qui redonne bien \(2\nu\) en \(X = 50\,\%\).

2. L’élargissement artificiel agit linéairement

COMSOL et Hagelaar et al. (2009) remplacent

\[\nu \;\longrightarrow\; \nu_e + \frac{\omega}{\delta}\]

Puisque FWHM \(\simeq 2\nu\), cet ajout élargit proportionnellement la résonance.

Dans une source réelle, \(\omega_c\) varie avec la position via \(B(\mathbf{r})\). Lieberman et Lichtenberg (2005) éq. (13.1.3) définit le gradient normalisé au point de résonance :

\[\omega_{ce}(z') = \omega(1 + \alpha z')\]

\[\alpha = \left.\frac{1}{\omega_{ce}} \frac{\partial\omega_{ce}}{\partial z'}\right|_{res} \quad [\mathrm{m^{-1}}]\]

Diviser la largeur spectrale par le gradient local donne l’épaisseur géométrique :

\[\boxed{\;\Delta r_{res} = \frac{\mathrm{FWHM}}{|\nabla\omega_c|} = \frac{2\nu_e}{\alpha\,\omega} \;\propto\; \frac{1}{\alpha}\;}\]

C’est la prédiction du modèle fluide.

La surface ECR se matérialise en un anneau mince : ici 65 µm pour une source de 5 cm.

Le calcul sans collisions de Lieberman et Lichtenberg (2005) §13.1 part de la cohérence de phase. Un électron ne gagne de l’énergie que tant que le déphasage accumulé reste faible — condition (13.1.16) :

\[[\omega - \omega_{ce}(v_{res}\Delta t_{res})]\,\Delta t_{res} \approx 2\pi\]

d’où le temps de résonance (13.1.13) puis la largeur de zone (13.1.14) :

\[\Delta t_{res} = \left(\frac{2\pi}{\omega|\alpha|v_{res}}\right)^{1/2}\]

\[\boxed{\;\Delta z_{res} = v_{res}\Delta t_{res} = \left(\frac{2\pi v_{res}}{\omega|\alpha|}\right)^{1/2} \propto \frac{1}{\sqrt{\alpha}}\;}\]

Et l’écart n’est pas qu’une pente : pour \(\nu_e = 5\cdot10^6\) s⁻¹ et \(\alpha = 10\) m⁻¹,

• fluide → 65 µm
• particulaire → 5,4 mm

soit deux ordres de grandeur. Les deux lois ne se croisent qu’à \(\alpha \sim 10^{-3}\) m⁻¹, hors de toute plage réaliste.

L’idée physique : sur l’échelle de temps de l’interaction (plusieurs périodes micro-onde), les électrons traversent la zone de résonance et perdent la cohérence de phase — un effet, selon les auteurs, « très semblable à celui des collisions ».

On l’absorbe donc dans une fréquence de transfert d’impulsion augmentée :

\[\nu_m = \nu_e + \nu_{eff}\]

\[\nu_{eff} \sim \frac{v_T}{\delta_{res}} \sim \left(\frac{v_T\,\omega}{\delta_B}\right)^{1/2} = \sqrt{v_T\,\omega\,\alpha}\]

\(\delta_B = 1/\alpha\) étant la longueur de gradient de \(B\).

En injectant dans la loi fluide :

\[\Delta r_{res}^{(\nu_{eff})} = \frac{2\nu_{eff}}{\alpha\omega} = 2\sqrt{\frac{v_T}{\omega\alpha}} \;\propto\; \frac{1}{\sqrt{\alpha}}\]

En écrivant \(\nu_{eff} = \omega/\delta\), la valeur cohérente du paramètre d’élargissement artificiel est

\[\boxed{\;\delta_{requis}(\alpha) = \frac{\omega}{\nu_{eff}} = \sqrt{\frac{\omega}{v_T\,\alpha}} \;\propto\; \alpha^{-1/2}\;}\]

Hagelaar et al. (2009) retient \(\nu_{eff} = \omega/20 \approx 10^9\) s⁻¹ en précisant qu’il s’agit d’un ordre de grandeur. La formule donne \(\delta \approx 46\) pour \(\alpha = 0{,}1\) cm⁻¹ et \(T_e = 3\) eV : même ordre de grandeur, mais dépendant du gradient local.

C’est la condition de légitimité de toute la méthode. Lieberman et Lichtenberg (2005) éq. (13.1.21) intègre le lorentzien sur l’espace :

\[\bar S_{ecr} = \frac{2e^2E_r^2 n}{m\omega|\alpha|} \tan^{-1}\!\left(\frac{\omega|\alpha|z_0}{\nu_m}\right) \;\xrightarrow[z_0\to\infty]{}\; \frac{\pi n e^2 E_r^2}{m\omega|\alpha|}\]

indépendant de \(\nu_m\) : l’amplitude au pic décroît en \(1/\nu\) pendant que la largeur croît en \(\nu\), et les deux se compensent exactement.